Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是$x=-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線相交于M，N兩點，O為坐標原點，證明：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用排趨性的準線方程求出p，即可求解拋物線的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達定理求解直線的斜率關系即可證明OM⊥ON．

解答 （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：因為拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程為$x=-\frac{p}{2}$，（2分）
所以 $-\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}$，解得p=1，（4分）
所以 拋物線的方程為y²=2x．（5分）
（Ⅱ）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將y=k（x-2）代入y²=2x，
消去y整理得 k²x²-2（2k²+1）x+4k²=0．（7分）
所以 x₁x₂=4．（8分）
由$y_1^2=2{x_1}$，$y_2^2=2{x_2}$，兩式相乘，得 $y_1^2y_2^2=4{x_1}{x_2}$，（9分）
注意到y(tǒng)₁，y₂異號，所以 y₁y₂=-4．（10分）
所以直線OM與直線ON的斜率之積為$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=-1$，（12分）
即 OM⊥ON．（13分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，韋達定理的應用，拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力以及轉化思想的應用．