Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}前三項的和為-3，前三項的積為8．
（Ⅰ）求等差數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若{a_n}滿足${a_3}^2={a_1}{a_2}$，求數(shù)列{|a_n|}的前10項的和S₁₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）當a_n=-3n+5時，不滿足${a_3}^2={a_1}{a_2}$，a_n=3n-7，滿足條件．可得|a_n|=|3n-7|=$\left\{\begin{array}{l}{-3n+7，n=1，2}\\{3n-7，n≥3}\end{array}\right.$，即可得出數(shù)列{|a_n|}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=-3}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=-3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-4}\\{d=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=2-3（n-1）=-3n+5，或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
（Ⅱ）當a_n=-3n+5時，不滿足${a_3}^2={a_1}{a_2}$，
a_n=3n-7，滿足條件．
∴|a_n|=|3n-7|=$\left\{\begin{array}{l}{-3n+7，n=1，2}\\{3n-7，n≥3}\end{array}\right.$，
記數(shù)列{|a_n|}的前n項和為S_n．
當n=1時，S₁=4；當n=2時，S₂=4+1=5．
當n≥3時，S_n=S₂+a₃+…+a_n=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+$\frac{（n-2）[2+（3n-7）]}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{11}{2}$n+10．
∴S₁₀=$\frac{3}{2}×1{0}^{2}-\frac{11}{2}×10$+10=105．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式、絕對值數(shù)列求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．