Question

8．已知圓C的圓心在直線y=x-2上
（Ⅰ）若圓經(jīng)過(guò)A（3，-2）和B（0，-5）兩點(diǎn)．
（i）求圓C的方程；
（ii）設(shè)圓C與y軸另一交點(diǎn)為P，直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓C相切．設(shè)D是圓C上異于P，B的動(dòng)點(diǎn)，直線BD與直線l交于點(diǎn)R．試判斷以PR為直徑的圓與直線CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，3），若圓C半徑為3，且圓C上存在點(diǎn)N，使|MN|=2|NO|，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）設(shè)圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系數(shù)法求圓C的方程；
（ii）求出以PR為直徑的圓的圓心S到CD的距離，證明d=r，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）點(diǎn)N在圓E：x²+（y+1）²=4上，又點(diǎn)N在圓C上，圓E與圓C有公共點(diǎn)，進(jìn)而確定不等式關(guān)系求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則圓心為$（-\frac{D}{2}，-\frac{E}{2}）$．…（1分）
（i）由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{E}{2}=-\frac{D}{2}-2}\\{13+3D-2E+F=0}\\ \begin{array}{l}\\ 25-5E+F=0\end{array}\end{array}}\right.$…（2分）
解得：D=0，E=4，F(xiàn)=-5∴圓C：x²+（y+2）²=9…（3分）
（ii）知P（0，1）、B（0，-5），則l：y=1
設(shè)D（m，n）（m≠0）$DB：\;y=\frac{n+5}{m}x-5$，$R（\frac{6m}{n+5}，\;1）$
以PR為直徑的圓的圓心$S（\frac{3m}{n+5}，\;1）$，半徑$r=\frac{3|m|}{|n+5|}$ …．（5分）
$CD：y=\frac{n+2}{m}x-2$即（n+2）x-my-2m=0…（6分）
以PR為直徑的圓的圓心S到CD的距離設(shè)為d
則$d=\frac{{|{\frac{3m（n+2）}{n+5}-3m}|}}{{\sqrt{{{（n+2）}^2}+{m^2}}}}=\frac{9|m|}{{|n+5|\sqrt{{{（n+2）}^2}+{m^2}}}}$．…（7分）
又點(diǎn)D在圓C上，∴m²+（n+2）²=9，
∴$d=\frac{3|m|}{|n+5|}=r$
故以PR為直徑的圓與直線CD總相切    …（8分）
（Ⅱ）設(shè)圓心C（a，a-2），設(shè)N（x，y），則
∵|MN|=2|NO|，
∴x²+（y-3）²=4x²+4y²，
∴點(diǎn)N在圓E：x²+（y+1）²=4上  …（10分）
又點(diǎn)N在圓C上，
∴圓E與圓C有公共點(diǎn)，
∴$3-2≤|EC|=\sqrt{2{a^2}-2a+1}≤3+2$…（11分）
∴-3≤a≤0或1≤a≤4…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生的分析推理和基本的運(yùn)算能力．