Question

3．如圖，AB是圓O的直徑，PA直圓O所在的平面，C是圓O上的點．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC．
（2）設Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）要證明平面PAC垂直于平面PBC，需證明平面PBC內(nèi)的直線BC，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可．
（2）連接OG并延長交AC于點M，則由重心的性質(zhì)可得M為AC的中點．利用三角形的中位線性質(zhì)，證明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，從而證明QG∥平面PBC．

解答 證明：（1）由AB是圓的直徑，得AC⊥BC；
由PA垂直于圓O所在的平面，得PA⊥平面ABC；又BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
（2）連接OG并延長交AC于M，
連接QM，QO．由G為△AOC的重心，知M為AC的中點，
由Q為PA的中點，則QM∥PC，
又O為AB中點，得OM∥BC．
因為QM∩MO=M，QM?平面QMO，
MO?平面QMO，BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
所以平面QMO∥平面PBC．
因為QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC．

點評 本題考查直線與平面平行與垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．