Question

7．求與圓x²+（y-2）²=1相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程$\sqrt{3}$x±y=0或x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0．．

Answer 1

分析 當(dāng)直線過原點時斜率存在，設(shè)方程為y=kx，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}$=1，分別聯(lián)立方程由△=0可得．

解答 解：當(dāng)直線過原點時斜率存在，設(shè)方程為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+（{y-2）}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得（k²+1）x²-4kx+3=0，
由相切可得△=16k²-12（k²+1）=0，解得k=±$\sqrt{3}$，
∴所求直線的方程為y=±$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}$x±y=0；
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}$=1，即y=a-x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=a-x}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x可得2y²-（4+2a）y+a²+3=0，
由相切可得△=（4+2a）²-8（a²+3）=0，解得a=2±$\sqrt{2}$，
∴所求直線的方程為x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0
綜上可得所求直線的方程為：$\sqrt{3}$x±y=0或x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0．
故答案為：$\sqrt{3}$x±y=0或x+y-（2±$\sqrt{2}$）=0．

點評 本題考查直線與圓的相切關(guān)系，涉及分類討論的思想和一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，屬中檔題．