Question

19．若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則在下列4個命題中，真命題的個數(shù)是（　�。�
①{${a}_{n}^2$}也是等比數(shù)列；
②{ca_n}（c≠0）也是等比數(shù)列；
③{$\frac{1}{{a}_{n}}$}也是等比數(shù)列；
④{lna_n}也是等比數(shù)列．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)出等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比，由等比數(shù)列的定義說明①②③為等比數(shù)列，舉反例說明④不是等比數(shù)列

解答 解：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，則a_n=a₁q^n-1，
對于①，an2=a₁²q^2（n-1），∴{${a}_{n}^2$}是以a₁²為首項(xiàng)，q²為公比的等比數(shù)列；
對于②，c≠0時(shí)，ca_n=ca₁•q^n-1，∴{ca_n}是以ca₁為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列；
對于③，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}{•q}^{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1}{{q}^{n-1}}$，∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{q}$為公比的等比數(shù)列；
對于④，當(dāng)數(shù)列{a_n}存在負(fù)項(xiàng)時(shí)，此時(shí)lga_n無意義，故{lga_n}不是等比數(shù)列；
綜上，是等比數(shù)列的為①②③共3個．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的概念與應(yīng)用問題，熟練掌握等比數(shù)列的定義是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題目．