Question

證明：存在實數(shù)α，β，使等式cos（α+β）=cosα+cosβ． （非舉例法求證）

Answer 1

考點：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：分別運用二倍角的余弦公式和和差化簡公式，化簡函數(shù)式，再由二次方程的判別式即可判斷．

解答： 證明：由cos（α+β）=cosα+cosβ，
得2cos²

α+β

2

-1=2cos

α+β

2

cos

α-β

2

，
則有2cos²

α+β

2

-2cos

α+β

2

cos

α-β

2

-1=0，
令t=cos

α+β

2

，則有2t²-2cos

α-β

2

t-1=0，
則有判別式為4cos²

α-β

2

+8＞0恒成立，
則關于t=cos

α+β

2

的二次方程有實數(shù)解，
則存在實數(shù)α，β，使等式cos（α+β）=cosα+cosβ．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查二倍角的余弦公式和和差化積公式的運用，考查二次方程的實根的判斷，屬于中檔題．