Question

如圖，PA、PB、PC兩兩垂直，PA=PB=PC，G是DPAB的重心，E是BC上的一點，且BE=BC，F是PB上的一點，且PF=PB．求證：

    （1）GF^平面PBC；

    （2）FE^BC；

    （3）GE是異面直線PG與BC的公垂線．

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）連結(jié)BG和PG，并延長分別交PA、AB于M和D．在DPBM中，∵ PF=PB，G是DPAB的重心，∴ MG=BM，∴ GF∥PM．又PA^PB，PA^PC，∴ PA^平面PBC，則GF^平面PBC．     （2）在EC上取一點Q，使CQ=BC，連結(jié)FQ，又PF=PB，∴ FQ∥PC，∵ PB=PC，∴ FB=FQ．∵ BE=BC，∴ E是BQ的中點，∴ FE^BQ，即FE^BC．     （3）連結(jié)GE．∵ GF^平面PBC，∴ 由三垂線定理得GE^BC于E．取BF中點N，連結(jié)EN，則EN∥FQ∥PC．∵ PC^平面PAB，∴ EN^平面PAB．連結(jié)NG，那么NG是EG在平面PAB上的射影．在RtDPDB中，∵ NG∥DB，∴ NG^PD，由三垂線定理得EG^PD于G，∴ GE是異面直線PG與BC的公垂線．