Question

1．在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=3，則線段AC的長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，易得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，建立直角坐標系，設D（x，y），則C（0，y），（-x，0），則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=y²=3，解出$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|$即可．

解答 解：根據(jù)題意，得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，
又∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，
又四邊形ABCD為平行四邊形，建立直角坐標系如右圖，
設D（x，y），則C（0，y），B（-x，0），
則$\overrightarrow{AC}$=（0，y），$\overrightarrow{AD}$=（x，y），
所以$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=y²=3，
從而線段AC的長為$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|$=$\sqrt{{y}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的坐標表示，建立直角坐標系是解決本題的關鍵，屬中檔題．