Question

（2013•南充三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得

aman

=2a₁，則mn的最大值是

4

．

Answer 1

分析：把所給的數(shù)列的三項(xiàng)之間的關(guān)系，寫出用第五項(xiàng)和公比來表示的形式，求出公比的值，整理所給的條件，寫出m，n之間的關(guān)系，用基本不等式得到最小值．

解答：解：∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

aman

=2a₁
∴a_ma_n=4a₁²，
∴q^m+n-2=4，
∴m+n=4
∴mn≤(

m+n

2

)2=4
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)即m=2，n=2時(shí)取得等號(hào)
∴mn的最大值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和基本不等式，實(shí)際上應(yīng)用基本不等式是本題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，屬于中檔題．