Question

12．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最小值為-2，圖象過（$\frac{5π}{9}$，0）
（1）求該函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由周期求的ω，由最值求得A，由特殊點的坐標(biāo)求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，∴ω=3；∵函數(shù)y的最小值為-2，∴A=2；
根據(jù)函數(shù)的圖象過（$\frac{5π}{9}$，0），可得3•$\frac{5π}{9}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴該函數(shù)的解析為y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{5π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{18}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{18}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．