Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求導(dǎo)函數(shù)曲線y=f′（x）與直線x=1，x=e及x軸所圍成的面積；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x+lnx，可得S=（2x+lnx）${|}_{1}^{e}$，代值計(jì)算可得；
（2）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=$\frac{ax+1}{x}$（x＞0），由函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系對(duì)a分類討論可得．

解答 解：（1）由已知，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x+lnx，
∴導(dǎo)函數(shù)曲線y=f′（x）與直線x=1，x=e及坐標(biāo)軸所圍成的面積
S=${∫}_{1}^{e}f′（x）dx$=（2x+lnx）${|}_{1}^{e}$=（2e+lne）-（2+ln1）=2e-1；
（2）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$（x＞0），
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0可得x=-$\frac{1}{a}$，
在區(qū)間（0，-$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＞0；在區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分求面積，涉及導(dǎo)數(shù)法判函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論的思想，屬中檔題．