Question

函數(shù)f(x)=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

；
（1）當a=1時，求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再確定函數(shù)的極值，再與端點比較，從而確定函數(shù)的最值；（2）先求導(dǎo)函數(shù)g/(x)=-

x2+4x+3a

x4

設(shè)u=x²+4x+3a，△=16-12a，對a進行討論，從而確定函數(shù)的極值點．

解答：解：（1）f/(x)=-

(x+1)(x+3)

x4

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	減	極小值- 4 27	增	極大值0	減	-2

∴最大值為0，最小值-2
（2）g/(x)=-

x2+4x+3a

x4

設(shè)u=x²+4x+3a，△=16-12a
當a≥

4

3

時，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）沒有極值點
當0＜a＜

4

3

時，x1=-2-

4-3a

，x2=-2+

4-3a

＜0
減區(qū)間：（-∞，x₁），（x₂，0），增區(qū)間：（x₁，x₂），∴有兩個極值點x₁，x₂
當a=0時，g(x)=

1

x

+

2

x2

，g/(x)=-

x+4

x3

減區(qū)間：（-∞，-4），增區(qū)間：（-4，0）∴有一個極值點x=-4
綜上所述：a=0時，∴有一個極值點x=-4；0＜a＜

4

3

時有兩個極值點x₁，x₂；a≥

4

3

時沒有極值點．

點評：本題只有考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及極值點，對于含參數(shù)問題應(yīng)注意分類討論．