Question

已知為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線與橢圓交于M,兩點，且線段，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由？

（3）若直線與橢圓交于A，B兩點，當k為何值時，（O為坐標原點）？

Answer 1

解：（I）設橢圓的標準方程為

由已知得，       ……………………2分

又點在橢圓上，

橢圓的標準方程為     

     所求橢圓方程是   ……………………4分

                                 

 （2）：若存在這樣的直線l，依題意，l不垂直x軸設 l方程 代入  ……………… 7分 

設、， 有，得    ……（9分）

又內部，故所求直線l方程  ………（10分）

（3）設，聯立方程： 化簡得：……（11分）

則，       ∵    ∴ ，又……（12分）

∴， 解得：  ∴  ……（13分）

經檢驗滿足，∴當時，．