Question

12．函數(shù)y=2x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$的值域是[-6，3$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)y$′=2-\frac{x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}$，而原函數(shù)的定義域?yàn)閇-3，3]，從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可判斷原函數(shù)在[-3，0]上單這樣便得到-6≤y≤3．而x∈（0，3）時(shí)，可以得出x=$\frac{6}{\sqrt{5}}$時(shí)原函數(shù)取得極大值，再求x=0和x=3時(shí)的y值，便可得到此時(shí)的y滿足$3＜y≤3\sqrt{5}$，對(duì)以上求得的y的范圍求并集即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：原函數(shù)的定義域?yàn)閇-3，3]；
$y′=2-\frac{x}{\sqrt{9-{x}^{2}}}$；
∴①-3＜x≤0時(shí)，y′＞0；
∴原函數(shù)在[-3，0]上單調(diào)遞增；
∴-6≤y≤3；
②0＜x＜3時(shí)，$y′=2-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{{x}^{2}}-1}}$；
令$2-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{{x}^{2}}-1}}=0$得$x=\frac{6}{\sqrt{5}}$；
∴$x∈（0，\frac{6}{\sqrt{5}}）$時(shí)，y′＞0，x∈（$\frac{6}{\sqrt{5}}，3$）時(shí)，y′＜0；
∴x=$\frac{6}{\sqrt{5}}$時(shí)原函數(shù)取得極大值$3\sqrt{5}$，又x=0時(shí)，y=3，x=3時(shí)，y=6；
∴此時(shí)$3＜y≤3\sqrt{5}$；
∴綜上得原函數(shù)的值域?yàn)?[-6，3\sqrt{5}]$．
故答案為：[-6，$3\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)極值的方法，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值域的方法，注意正確求導(dǎo)．