Question

12．已知直線l的方程為（2k-1）x-（k+3）y-（k-1）=0（k∈R）．
（1）求證：不論k取何值，直線l恒過定點；
（2）求過此點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為$\frac{1}{2}$的直線方程．

Answer 1

分析 （1）把已知的直線方程變形，利用直線系方程聯(lián)立方程組可得直線l恒過定點；
（2）引入兩個截距，用截距式寫出方程，代入（1）中求出的點的坐標(biāo)得到一個關(guān)于兩個截距的方程，再用截距表示出與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，令其為$\frac{1}{2}$，得到另一個關(guān)于截距的方程，解這兩個方程組成方程組，求出截距，寫出方程即可．

解答 （1）證明：由（2k-1）x-（k+3）y-（k-1）=0，得k（2x-y-1）+（-x-3y+1）=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{-x-3y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{7}}\\{y=\frac{1}{7}}\end{array}\right.$．
∴直線l恒過定點（$\frac{4}{7}，\frac{1}{7}$）；
（2）解：設(shè)所求直線方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{7a}+\frac{1}{7b}=1}\\{\frac{1}{2}|a||b|=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7-\sqrt{33}}{5}}\\{b=\frac{7+\sqrt{33}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7+\sqrt{33}}{5}}\\{b=\frac{7-\sqrt{33}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{7+\sqrt{65}}{2}}\\{b=\frac{-7+\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{65}-7}{2}}\\{b=\frac{-7-\sqrt{65}}{8}}\end{array}\right.$．
∴直線l的方程為$\frac{x}{\frac{7-\sqrt{33}}{5}}+\frac{y}{\frac{7+\sqrt{33}}{8}}=1$或$\frac{x}{\frac{7+\sqrt{33}}{5}}+\frac{y}{\frac{7-\sqrt{33}}{8}}=1$或$\frac{x}{-\frac{7+\sqrt{65}}{2}}+\frac{y}{\frac{-7+\sqrt{65}}{8}}=1$或$\frac{x}{\frac{\sqrt{65}-7}{2}}+\frac{y}{\frac{-7-\sqrt{65}}{8}}=1$．

點評 本題考查直線系方程，考查用待定系數(shù)法求直線方程，本題先引入?yún)��?shù)，表示出直線的方程，再根據(jù)題設(shè)的條件建立起參數(shù)的方程求參數(shù)，這是求直線方程時常用的一個思路，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．