Question

如圖,已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱長為a,M和N分別為棱AA₁和CC₁上的動點,且AM=C₁N.

(1)證明四邊形BND₁M是平行四邊形;

(2)求四邊形BND₁M面積的最小值.

Answer 1

(1)證明:在BB₁上取一點P,使B₁P=C₁N.連結A₁P、PN.

∵B₁PC₁N,∴四邊形B₁PNC₁是平行四邊形.

∴PNB₁C₁A₁D₁.∴四邊形A₁PND₁是平行四邊形.

∴D₁NA₁P.∵A₁MBP,

∴四邊形A₁MBP是平行四邊形.

∴BMA₁P.BMD₁N.

∴四邊形BND₁M是平行四邊形.

(2)解析:連結MN,設MN∩BD₁=O.

由(1)可知=2,

在△BMD₁中,BD₁=.

又∵當點M運動到AA₁中點M₀時,易證M₀O是異面直線AA₁與BD₁的公垂線段,且可求得M₀O=a,從而點M到BD₁的最小距離就是異面直線AA₁與BD₁之間的距離a.

∴的最小值是×a×=.

∴四邊形BMD₁N面積的最小值為.