Question

已知，函數(shù)                  

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)（設(shè)為和）時(shí)，求證：．

Answer 1

解：（1）∵，

，考慮分子

當(dāng)，即時(shí)，在上，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解不相等的實(shí)數(shù)根：，，顯然，

∵當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在和上單調(diào)遞增.

（2）∵是的兩個(gè)極值點(diǎn)，故滿足方程，

即是的兩個(gè)解，∴，

∵

             

而在中，

因此，要證明，

等價(jià)于證明

注意到，只需證明

即證

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；---

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

因此，從而，即，原不等式得證．