Question

已知函數(shù)f（x）=lnx
（1）若F(x)=

f(x)+a

x

(a∈R)，求F（x）的極值；
（2）若G（x）=[f（x）]²-kx在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式，求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)大于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令導函數(shù)小于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為函數(shù)的減區(qū)間，現(xiàn)分析函數(shù)的增減性，即可得到函數(shù)的極值．
（2）先將原問題轉(zhuǎn)化為：G（x）=[f（x）]²-kx在定義域內(nèi)單調(diào)遞減?G'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即：

2

x

lnx-k≤0在（0，+∞）上恒成立，記H（x）=

2

x

lnx-k，（x＞0），利用導數(shù)研究函數(shù)H（x）的單調(diào)性，最后得到：為使G'（x）=H（x）≤0在（0，+∞）上恒成立必須且只需

2

e

-k≤0恒成立，列出不等式求出k的范圍．

解答：解：（1）∵F'（x）=

f′(x)-f(x)-a

x2

=

1-a-lnx

x2

（x＞0）…（2分）
令F'（x）=0，得x=e^1-a
∴當x＞e^1-a時，F(xiàn)'（x）＜0；
當0＜x＜e^1-a時，F(xiàn)'（x）＞0…（4分）
∴F（x）的極大值為：F（e^1-a）=e^a-1；無極小值．…（6分）
（2）∵G（x）=[f（x）]²-kx=（lnx）²-kx，
定義域為（0，+∞），且G'（x）=

2

x

lnx-k
∴G（x）=[f（x）]²-kx在定義域內(nèi)單調(diào)遞減?G'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立
即：

2

x

lnx-k≤0在（0，+∞）上恒成立      …（8分）
記H（x）=

2

x

lnx-k，（x＞0）
由H'（x）=0，得x=e
∴當x∈（0，e）時，H'（x）＞0；
當x∈（e，+∞）時，H'（x）＜0
即：H（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；在（e，+∞）單調(diào)遞減．…（10分）
故當x=e時，H（x）取得最大值，且最大值為H（e）=

2

e

-k
為使G'（x）=H（x）≤0在（0，+∞）上恒成立必須且只需

2

e

-k≤0恒成立
故k≥

2

e

所以k的取值范圍是[

2

e

，+∞）…（12分）

點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減性進而求得函數(shù)的極值，是一道綜合題．