Question

已知函數(shù)f(x)=ax²-(a+1)x+1，
(Ⅰ)當x∈（，1）時，不等式f(x)＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
(Ⅱ)設(shè)H(x)=[f(x)+a-1]e^x，當a＞-1且a≠0時，求函數(shù)H(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

解：(Ⅰ)①當a=0時，=-x+1，在上，＞0一定成立；
②當a≠0時，，
當a＞0時，二次函數(shù)y=的圖象開口向上，且與x軸有兩個交點（1，0）和，
要使＞0在上恒成立，當且僅當，即；
當a＜0時，二次函數(shù)y=的圖象開口向下，且與x軸有兩個交點（1，0）和，
要使＞0在上恒成立，當且僅當，即；
綜合可得實數(shù)a的取值范圍是。
(Ⅱ)，
，
令，解得：或x=-1，
①當a＞0時，則，當x變化時，的變化情況如下表：

所以，函數(shù)H（x）在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，
函數(shù)H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），且；
函數(shù)H（x）在處取得極小值，且；
②當時，則，當x變化時，的變化情況如下表：

所以，函數(shù)H（x）在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，
函數(shù)H（x）在x=-1處取得極大值H（-1），且；
函數(shù)H（x）在處取得極小值，且。