Question

3．如圖，在周長(zhǎng)為60πcm的圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B、C、D在圓周上．
（Ⅰ）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積；
（Ⅱ）若將所截得的矩形鋁皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），應(yīng)怎樣截取，才能使做出的圓柱形罐子體積最大？并求最大體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的周長(zhǎng)可得半徑r=30，連接AC，設(shè)∠BAC=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），即有AB=60cosα，AD=60sinα，運(yùn)用矩形的面積公式和二倍角的正弦，以及正弦函數(shù)的值域即可得到所求最大值；
（Ⅱ）運(yùn)用圓柱的體積公式可得圓柱形罐子體積為V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），由sin²αcos⁴α=$\frac{1}{2}$•2sin²α•cos²α•cos²α，運(yùn)用三元基本不等式即可得到所求的最大值．

解答 解：（Ⅰ）周長(zhǎng)為60πcm，即有2πr=60π，
解得r=30，即有AC=60，
連接AC，設(shè)∠BAC=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
即有AB=60cosα，AD=60sinα，
則矩形ABCD的面積為S=AB•AD=3600sinαcosα=1800sin2α，
當(dāng)sin2α=1，即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，矩形的面積取得最大值，且為1800cm²；
故與直徑成$\frac{π}{4}$的角，截取可得矩形的面積最大，且為1800cm²；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得AB=60cosα，AD=60sinα，
設(shè)60cosα=2πr，可得r=$\frac{30cosα}{π}$，
即有圓柱形罐子體積為V=π•$\frac{900co{s}^{2}α}{{π}^{2}}$•AD=$\frac{54000}{π}$•sinαcos²α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
由sin²αcos⁴α=$\frac{1}{2}$•2sin²α•cos²α•cos²α≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+co{s}^{2}α}{3}$）³
=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{27}$=$\frac{4}{27}$，當(dāng)且僅當(dāng)2sin²α=cos²α，即為tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，取得最大值．
故與直徑成α角，且tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，截取得到的矩形，卷成圓柱，
體積取得最大值，且為$\frac{12000\sqrt{3}}{π}$cm³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用題的解法，考查三角函數(shù)的恒等變換的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的值域和基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．