Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}（x＞0）}\\{{x}^{3}+4（x≤0）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x²）=a（a∈R）有四個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （4，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，4）
• D． （4，7）

Answer 1

分析 令t=x²，則t≥0，函數(shù)f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{4}{t}，t＞0}\\{{t}^{3}+4，t≤0}\end{array}\right.$，由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=a有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且每個(gè)t值有2個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合可得a的取值范圍．

解答 解：令t=x²，則t≥0，
函數(shù)f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{4}{t}，t＞0}\\{{t}^{3}+4，t≤0}\end{array}\right.$．
由題意可得，函數(shù)f（t）的圖象與直線y=a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
且每個(gè)t值有2個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，如圖所示：
由于當(dāng)t=2時(shí)，f（t）=4，
當(dāng)a＞4時(shí)，有兩個(gè)t值，即有4個(gè)不同的實(shí)根．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．