Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn).

（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；

（3）求DB與平面DEF所成角的大小.

Answer 1

解法一：（1）取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)FO、OE.

∵AE=EB，OE∥AD,

又∵AD⊥CD,∴OE⊥CD.

∵FP=FB,∴FO∥PD.                                                        

∵PD⊥底面ABCD,∴FO⊥底面ABCD.

∴EF⊥CD（三垂線定理）.                                                 

（2）答：G是AD的中點(diǎn).                                               

取PC的中點(diǎn)H，連結(jié)DH.

∵PD=DC,∴DH⊥PC.又∵BC⊥平面PDC,

∴BC⊥DH.∴DH⊥平面PCB.

取DA的中點(diǎn)G，連結(jié)GF、FH.

∵HFBCDG,

∴四邊形DGFH為平行四邊形.

∴DH∥GF.∴GF⊥平面PCB.                                              

（3）∵V_B-DEF=V_F-DEB,

∴S_△DEF·d=S_△DEB·FO.                                              

設(shè)底面邊長為a,則FO=a,S_△DEB=a²,EF=AP=,DF=PB=a,

DE=a.

∵EF²+DF²=a²+a²=a²=DE²,∴∠DFE=90°

                                                                       

∴S_△DEF= a².

∴a²·d=a²·ad=a.

設(shè)DB與平面DEF所成角為θ,則sinθ==.

∴DB與平面DEF所成角為arcsin.                                     

解法二：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，則

D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E（a,,0）、F(,,)、P(0,0,a).

（1）·=（-,0,）·(0,a,0)=0,

∴EF⊥DC.                                                              

（2）設(shè)G(x,0,z),則G∈平面PAD.

=(x-,-,z-),

·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0,x=.

·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)

=+a(z-)=0,z=0.

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（,0,0）,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn).                             

（3）設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z).

由

得

即

取x=1,則y=-2,z=1.

∴n=(1,-2,1).

cos〈,n〉==.

∴DB與平面DEF所成角大小為-arccos(即arcsin).