Question

12．若f（x）為R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，又f（-3）=0，則 （x-2）f（x）＜0的解集為（-3，0）∪（2，3）．

Answer 1

分析 由（x-2）•f（x）＜0對x-2＞0或x-2＜0進(jìn)行討論，把不等式（x-2）•f（x）＜0轉(zhuǎn)化為f（x）＞0或f（x）＜0的問題解決，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，又f（-3）=0，把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，求得結(jié)果．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴在（-∞，0）內(nèi)f（x）也是增函數(shù)，
又∵f（-3）=0，
∴f（3）=0
∴當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（0，3）時，f（x）＜0；
當(dāng)x∈（-3，0）∪（3，+∞）時，f（x）＞0；
∵（x-2）•f（x）＜0
∴$\left\{\begin{array}{l}x-2＜0\\ f（x）＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ f（x）＜0\end{array}\right.$，
解得-3＜x＜0或2＜x＜3
∴不等式的解集是（-3，0）∪（2，3）
故答案為：（-3，0）∪（2，3）

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬中檔題．