Question

2．已知圓${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+4y-4=0$，圓${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-2=0$，圓${C_3}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-\frac{14}{5}=0$，則圓C₁與圓C₂的公共弦所在的直線被圓C₃所截得的弦長為4．

Answer 1

分析 利用兩圓相減得到公共弦的方程，利用直線和圓的位置關系進行求解即可．

解答 解：∵圓${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+4y-4=0$，圓${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-2=0$，
∴兩式相減得公共弦方程為4x-2y+2=0，即2x-y+1=0，
由${C_3}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-\frac{14}{5}=0$得圓的標準方程為（x-1）²+（y-1）²=$\frac{24}{5}$，
則圓心C₃坐標為（1，1），半徑R=$\sqrt{\frac{24}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴圓心C₃到2x-y+1=0的距離d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則公共弦所在的直線被圓C₃所截得的弦長為2$\sqrt{{R}^{2}-gjlq9hp^{2}}$=2$\sqrt{\frac{24}{5}-\frac{4}{5}}$=2$\sqrt{4}$=2×2=4，
故答案為：4

點評 本題主要考查兩圓公共弦的求解以及直線和圓相交時弦長公式的即可，考查學生的計算能力．