Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱AB、BC的中點，若點M為棱B₁B上的一點，當(dāng)的值為多少時，能使D₁M⊥平面EFB₁？并給出證明.

Answer 1

【探究】 本題屬開放型問題，一般先猜后證.由于E、F為中點，所以猜想M也是中點.

解：當(dāng)時，能使D₁M⊥平面EFB₁，證明如下：

    當(dāng)M為B₁B中點時，在平面AA₁B₁B內(nèi)有△A₁MB₁≌△B₁EB，∴∠B₁A₁M=∠BB₁E.而∠B₁MA₁+∠B₁A₁M=90°,∴∠B₁MA₁+∠BB₁E=90°.

∴A₁M⊥B₁E.

∵D₁A₁⊥平面AA₁B₁B，B₁E平面AA₁B₁B,

∴D₁A₁⊥B₁E.

由于A₁M∩D₁A₁=A₁,∴B₁E⊥平面A₁MD₁.

∵D₁M平面A₁MD₁,∴B₁E⊥D₁M.

同理，連結(jié)C₁M，可證明B₁F⊥D₁M.

∵B₁E∩B₁F=B₁,∴D₁M⊥平面EFB₁.

【規(guī)律總結(jié)】 (1)猜想要和題目中的點的性質(zhì)相聯(lián)系.

(2)平面內(nèi)證兩線垂直的方法可通過三角形中某兩個角的和為直角來判斷.