Question

13．在三棱錐S-ABC中，底面△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°，△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為AB=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{6}$，則三棱錐S-ABC的體積（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知棱錐的四個(gè)面全等，棱錐可看做面對(duì)角線分別為$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$的長(zhǎng)方體切去四個(gè)全等的小棱錐得到的，使用做差法計(jì)算棱錐的體積．

解答 解：∵底面△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°，
∴三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面ABC全等．
∴三棱錐S-ABC可看做是面對(duì)角線分別為$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$的長(zhǎng)方體沿著面對(duì)角線切去四個(gè)小棱錐得到的幾何體．
設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為x，y，z，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=3}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=5}\\{{y}^{2}+{z}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1}\\{{y}^{2}=2}\\{{z}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴xyz=$\sqrt{{x}^{2}{y}^{2}{z}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴三棱錐的體積V=xyz-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}xyz×4$=$\frac{1}{3}xyz$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計(jì)算，屬于中檔題．