Question

9．若數(shù)列{a_n}中不超過(guò) f（m）的項(xiàng)數(shù)恰為b_m（m∈N^*），則稱數(shù)列{b_m}是數(shù)列{a_n}的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)f（m）是{a_n}生成{b_m}的控制函數(shù)．設(shè)f（m）=m²．
（1）若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，且所有項(xiàng)都是自然數(shù)，b₁=1，求a₁；
（2）若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，且所有項(xiàng)都是自然數(shù)，a₁=b₁，求a₁；
（3）若a_n=2n （n=1，2，3），是否存在{b_m}生成{a_n}的控制函數(shù)g（n）=pn²+qn+r（其中常數(shù)p，q，r∈Z），使得數(shù)列{a_n}也是數(shù)列{b_m}的生成數(shù)列？若存在，求出g（n）；若不存在，說(shuō)明理．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即得結(jié)論；
（2）根據(jù)題意分a₁=0，a₁≥2，a₁=1討論即可；
（3）若a_n=2n （n=1，2，3），則b_m為不超過(guò)$\frac{1}{2}{m}^{2}$的最大整數(shù)，對(duì)m分奇偶討論得b_m=$\left\{\begin{array}{l}{2{k}^{2}-2k，}&{m=2k-1（k∈{N}^{*}）}\\{2{k}^{2}，}&{{m=2k（k∈N}^{*}）}\end{array}\right.$，假設(shè)存在控制函數(shù)g（n），得p=2，且0≤q≤2，q∈Z，分q=0，1，2三種情況討論即可．

解答 解：（1）若b₁=1，因?yàn)閿?shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
所以a₁≤1²，又所有項(xiàng)都是自然數(shù)，所以a₁=0或1；
（2）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的每項(xiàng)都是自然數(shù)，
若a₁=0≤1²，則b₁≥1，與a₁=b₁矛盾；
若a₁≥2，則因數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，故不存在a_n≤1²，即b₁=0，也與a₁=b₁矛盾；
當(dāng)a₁=1時(shí)，因數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，故n≥2時(shí)，a_n＞1，所以b₁=1，符合條件；
綜上，a₁=1．
（3）若a_n=2n （n=1，2，3），則數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，顯然數(shù)列{b_n}也單調(diào)遞增，
由${a}_{n}≤{m}^{2}$，即2n≤m²，得$n≤\frac{1}{2}{m}^{2}$，所以b_m為不超過(guò)$\frac{1}{2}{m}^{2}$的最大整數(shù)，
當(dāng)m=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
因?yàn)?2{k}^{2}-2k＜\frac{1}{2}{m}^{2}=2{k}^{2}-2k+\frac{1}{2}$＜2k²-2k+1，所以$_{m}=2{k}^{2}-2k$；
當(dāng)m=2k（k∈N^*）時(shí)，$\frac{1}{2}{m}^{2}=2{k}^{2}$，所以$_{m}=2{k}^{2}$，
綜上，b_m=$\left\{\begin{array}{l}{2{k}^{2}-2k，}&{m=2k-1（k∈{N}^{*}）}\\{2{k}^{2}，}&{{m=2k（k∈N}^{*}）}\end{array}\right.$，
即當(dāng)m＞0且m為奇數(shù)時(shí)，$_{m}=\frac{{m}^{2}-1}{2}$；當(dāng)m＞0且m為偶數(shù)時(shí)，$_{m}=\frac{{m}^{2}}{2}$．
若數(shù)列{a_n}是數(shù)列{b_m}的生成數(shù)列，且{b_m}生成{a_n}的控制函數(shù)g（n），
則b_m中不超過(guò) g（n）的項(xiàng)數(shù)恰為a_n，即b_m中不超過(guò)g（n）的項(xiàng)數(shù)恰為2n，
所以b_2n≤g（n）＜b_2n+1，即2n²≤pn²+qn+r＜2n²+2n對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{（p-2）{n}^{2}+qn+r≥0}\\{（2-p）{n}^{2}+（2-q）n-r＞0}\end{array}\right.$對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
故得p=2，且$\left\{\begin{array}{l}{qn+r≥0}\\{（2-q）n-r＞0}\end{array}\right.$對(duì)一切正整數(shù)n都成立，故0≤q≤2，q∈Z，
又常數(shù)r∈Z，
當(dāng)q=0時(shí)，0≤r＜2n（n≥1），所以r=0，或r=1；
當(dāng)q=1時(shí)，-n≤r＜n（n≥1），所以r=0，或r=-1；
當(dāng)q=2時(shí)，-2n≤r＜0（n≥1），所以r=-2，或r=-1；
所以g（n）=2n²，或2n²+1，或2n²+n-1，或2n²+n，或2n²+2n-2，或2n²+2n-1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道考查新定義題，需要弄清新概念的本質(zhì)，考查分析能力、計(jì)算能力和分類討論的思想，屬于難題．