Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC₁，
(Ⅰ)證明：AB=AC；
(Ⅱ)設(shè)二面角A-BD-C為60°，求B₁C與平面BCD所成的角的大�。�

Answer 1

(Ⅰ)證明：取BC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則，從而， 連結(jié)AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF∥DE， 又DE⊥平面BCC1， 故AF⊥平面BCC1， 從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC． (Ⅱ)解：作AG⊥BD，垂足為G，連結(jié)CG，由三垂線定理知CG⊥BD， 故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角， 由題設(shè)知，∠AGC=60°， 設(shè)AC=2，則， 又AB=2，BC=2，故AF=， 由得， 解得AD=，故AD=AF， 又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形， 因?yàn)锽C⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A， 故BC⊥平面DEF， 因此平面BCD⊥平面DEF， 連結(jié)AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD， 連結(jié)CH，則∠ECH為B1C與平面BCD所成的角， 因ADEF為正方形，AD=，故EH=1， 又， 所以， 所以∠ECH=30°， 即B1C與平面BCD所成的角為30°。