Question

11．在鈍角△ABC中，|AB|=$\sqrt{6}$，|BC|=$\sqrt{2}$，且|AC|cosB=|BC|cosA，則|AC|=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理和已知條件可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，驗證可得．

解答 解：∵|AC|cosB=|BC|cosA，
∴由正弦定理可得sinBcosB=sinAcosA，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
當A+B=$\frac{π}{2}$時，三角形為直角三角形，不合題意，
當A=B時，三角形為等腰三角形，此時|AC|=$\sqrt{2}$，
∵|AB|=$\sqrt{6}$，|BC|=$\sqrt{2}$，|AC|=$\sqrt{2}$，
∴cosC=$\frac{2+2-6}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$＜0，C為鈍角，三角形為鈍角三角形
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查解三角形，涉及正弦定理和三角形形狀的判定，屬基礎(chǔ)題．