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利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)x＞0時(shí),ln(1+x)＞x-.

證明:設(shè)f(x)=ln(1+x)-x+,其定義域?yàn)?-∞,+∞).

     f′(x)=-1+x=＞0.

    所以f(x)在(-1,+∞)上是增函數(shù).

    由增函數(shù)定義知,當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞f(0)=0,

    即x＞0時(shí),ln(1+x)＞x-.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng)x＞0時(shí),ln（1+x）＞x-.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

利用導(dǎo)數(shù)證明：當(dāng)x＞0時(shí),ln（1+x）＞x-.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省高三第五次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e](e是自然常數(shù))時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)中利用函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)恒小于等于零，然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問(wèn)中，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3，利用，對(duì)a分類討論，進(jìn)行求解得到a的值。

第三問(wèn)中，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120293445381201_ST.files/image006.png">，這樣利用單調(diào)性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見解析

 

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