Question

如圖，已知拋物線(xiàn)C：y²=4x焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=2上，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）若|AB|=20，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出；
（II）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式|AB|=x₁+x₂+p即可得到k．

解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M（x₀，2），則x0=

x1+x2

2

，2=

y1+y2

2

，kl=

y1-y2

x1-x2

．
由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴4k_l=4，解得k_l=1．
由y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0）．∴直線(xiàn)l的方程為：y=x-1．
（II）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

化為k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x1+x2=

4+2k2

k2

．
∵|AB|=x₁+x₂+p=

4+2k2

k2

+2=10，解得k=±

6

3

．
∴直線(xiàn)l的方程為y=±

6

3

(x-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“點(diǎn)差法”、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式|AB|=x₁+x₂+p等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．