Question

10．某地矩形社會主義核心價值觀知識競賽，有甲、乙、丙、丁四支代表隊進(jìn)入到最后的決賽，決賽規(guī)則如下：對每個隊最多進(jìn)行五輪比賽，若某輪回答正確，則下一輪繼續(xù)，若某輪回答錯誤，下一輪要參加比賽爭取復(fù)活機(jī)會，規(guī)定：若下輪回答正確比賽繼續(xù)，若下輪回答又錯誤則該隊就結(jié)束比賽，共有5輪、4輪、3輪回答正確的代表隊分別為一等獎、二等獎、三等獎，獎金依次為100元、80元、60元，每輪各代表隊回答正確的概率均為$\frac{1}{2}$，且互不影響．
（Ⅰ）求甲隊獲獎的概率；
（Ⅱ）求甲隊獲得獎金ξ（元）的數(shù)學(xué)期望及本次活動該地應(yīng)預(yù)算的獎金．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲隊獲獎，說明甲隊至少有3輪回答正確，然后分別求出甲隊回答正確5輪、4輪、3輪的概率，再由互斥事件的概率加法公式得答案；
（Ⅱ）求出甲隊不獲獎的概率，然后列出甲隊獲得獎金的分布列，代入期望公式求期望，最后由y=E（4ξ）求得本次活動該地應(yīng)預(yù)算的獎金．

解答 解：（Ⅰ）甲獲一等獎的概率為${P}_{1}={C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}=\frac{1}{32}$，
甲獲二等獎的概率${P}_{2}={C}_{5}^{4}•\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{4}=\frac{5}{32}$，
經(jīng)列舉，甲獲三等獎的概率${P}_{3}=7×（\frac{1}{2}）^{5}=\frac{7}{32}$．
∴甲獲獎的概率為P=$\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{7}{32}=\frac{13}{32}$；
（Ⅱ）甲隊獲得的獎金ξ，ξ可取100，80，60，0，
甲隊未獲獎的概率為1-P=$\frac{19}{32}$，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	100	80	60	0
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{7}{32}$	$\frac{19}{32}$

∴Eξ=$100×\frac{1}{32}+80×\frac{5}{32}+60×\frac{7}{32}+0×\frac{19}{32}=\frac{115}{4}$．
∴該地應(yīng)預(yù)算的獎金為y=E（4ξ）=4×$\frac{115}{4}=115$（元）．

點評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望，考查相互獨立事件及其概率計算公式，是中檔題．