Question

已知平面α∥β,AB、CD為夾在α、β間的異面線段，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn).求證:EF∥α,EF∥β.

Answer 1

分析:要證EF∥α，根據(jù)線面平行的判定定理，只需在α內(nèi)找一條直線與EF平行；或過(guò)EF作一平面，使該平面與α平行，據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證得.

證法一:

連結(jié)AF并延長(zhǎng)交β于G?.

∵AG∩CD=F,

∴AG、CD確定平面γ，且γ∩α=AC,γ∩β=DG.

∵α∥β,∴AC∥DG.∴∠ACF=∠GDF.

又∠AFC=∠DFG，CF=DF,

∴△ACF≌△GDF.∴AF=FG.

又AE=BE,∴EF∥BG.

∵BGβ,∴EF∥β.

同理,FE∥α.

證法二:∵AB與CD為異面直線,∴ACD.

在A、C、D確定的平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG∥CD交β于點(diǎn)G，取AG的中點(diǎn)H，連結(jié)AC、HF.

∵α∥β,∴AC∥DG∥FH.

∵DGβ,∴HF∥β.

又∵E為AB的中點(diǎn),

∴EH∥BG.∴EH∥β.

又EH∩HF=H,∴平面EHF∥β.

∵EF平面EHF,∴EF∥β.同理,EF∥α.