Question

2．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個(gè)焦點(diǎn)為F（3，0），且雙曲線的漸進(jìn)線與圓（x-3）²+y²=1相切，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1..

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，可得c=3b=3，由a，b，c的關(guān)系可得a，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：由題意可得c=3，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由雙曲線的漸近線與圓（x-3）²+y²=1相切，
可得d=$\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
可得3b=c=3，即b=1，
a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}$-y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和直線與圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．