Question

①若f（x+1）=2x²+1，求f（x）．
②已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，且 f（x+1）-f（x）=x+1，求f（x）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①中函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)簡單，可以用配湊法求該函數(shù)解析式．
②中已知函數(shù)類型，可以用待定系數(shù)法求該函數(shù)解析式．

解答： 解：①f（x+1）=2x²+1=2（x+1）²-4（x+1）+3，
所以f（x）=2x²-4x+3．
②設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax²+bx，
又∵f（x+1）-f（x）=x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=x+1
∴ax²+2ax+a+bx+b-ax²-bx=x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴2a=1，且a+b=1，
解得a=b=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x．

點評：本題考察函數(shù)解析式的求解，換元法是常用方法，配湊法本質(zhì)是換元法，換元法在運用時要注意新元的范圍．而已知函數(shù)類型時，可先設(shè)出函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)已知構(gòu)造方程，解出參數(shù)．