Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=0．

Answer 1

（1）證明∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期為4的周期函數．
（2）解∵x∈[2，4]，∴-x∈[-4，-2]，
∴4-x∈[0，2]，
∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）²=-x²+6x-8，
又f（4-x）=f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-x²+6x-8，
即f（x）=x²-6x+8，x∈[2，4]．
（3）解∵f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1．
又f（x）是周期為4的周期函數，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 008）+f（2 009）+f（2 010）+f（2 011）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 011）=0
分析：（1）由f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得函數的周期性；
（2）由于x∈[2，4]，則4-x∈[0，2]，再根據周期及函數在區(qū)間[0，2]上的解析式，可求x∈[2，4]時函數解析式；
（3）根據已知可分別求解f（0），f（1），f（2），f（3）進而根據周期可求f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
點評：本題主要考查了函數的周期的求解及應用及根據函數性質求解函數的解析式及函數值的求解，解題的關鍵是熟練應用函數的基本性質