Question

已知F₁、F₂分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點N，并且滿足。設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點，其中λ∈。
（1） 求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍；
（2）過A、B兩點分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點P，求證：點P在一條定直線上，并求點P的縱坐標(biāo)的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由于
∴
解得
從而所求橢圓的方程是
∵
∴A，B，N三點共線
而點N的坐標(biāo)為（-2，0）
設(shè)直線AB的方程為
其中k為直線AB的斜率，依條件知k＞0
由消去x得
即
根據(jù)條件可知
解得
設(shè)
根據(jù)韋達定理得，
又由得
∴
從而消去y₂得
令
則
由于
所以
∴在區(qū)間上是減函數(shù)
從而
即
∴
解得
而
∴
因此直線AB的斜率的取值范圍是；
（2）上半橢圓的方程為
且
求導(dǎo)可得
所以兩條切線的斜率分別為，
切線PA的方程是
即
又
從而切線PA的方程為
同理可得切線PB的方程為
由
可解得點P的坐標(biāo)滿足
再由得
∴
又由（1）知
∴
因此點P在定直線上，并且點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是。