Question

13．已知A，B，C三點在同一球面上，若球心到平面ABC的距離為1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球的體積為$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由“∠BAC=60°，AB=1，AC=2，”得到AB即為A、B、C三點所在圓的直徑，取AB的中點M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在Rt△OMB中，OM=1，MB=1，則OB可求，從而得出該球的體積．

解答 解：在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=1，AC=2，∴BC=$\sqrt{3}$，
則三角形ABC是以AC為斜邊的直角三角形，
如圖所示：
取AC的中點M，則球面上A、B、C三點所在的圓即為⊙M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，
在Rt△OMB中，OM=1，MA=1，
∴OA=$\sqrt{2}$，即球球的半徑為$\sqrt{2}$．
∴球的體積為：$\frac{4}{3}π×（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．
故答案為：$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

點評 本題考查球的有關計算問題，點到平面的距離，是基礎題．