Question

（2010•安徽模擬）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c且acosB+acosC=b+c，則△ABC的形狀是（　　）

A．等邊三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．直角三角形

Answer 1

分析：可利用余弦定理將cosB與cosC化為邊的關(guān)系，

解答：解法1：∵cosB =

a2+c2-b2

2ac

，cosC =

a2+b2-c2

2ab

，
∴acosB+acosC=a•

a2+c2-b2

2ac

+a•

a2+b2-c2

2ab

=

a2•b +b•c2-b3+b2• c+a2•c-c3

2bc

=

a2(b +c)+bc(b+c)-b3-c3

2bc

=

a2(b +c)+bc(b+c)-(b+c)(b2-bc+c2)

2bc

=b+c，∵b+c＞0，
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，
∴a²=b²+c²，
故選D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能為鈍角，過點C向AB作垂線，垂足為D，則acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故選D．

點評：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查余弦定理與化簡運算的能力，屬于中檔題．