Question

若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正，且a₁=a（0＜a＜1）
（1）若，求a_n+1的取值范圍．
（2）若，求證：
①，
②．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用考察函數(shù)的單調(diào)性，由即可求出a_n+1的取值范圍；
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225251804308368/SYS201311012252518043083020_DA/2.png">，取倒數(shù)得到，從而得出化簡(jiǎn)即可；
②由①得，得出，結(jié)合拆項(xiàng)求和即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225251804308368/SYS201311012252518043083020_DA/7.png">，所以，函數(shù)是增函數(shù)，
由，
∴．
a_n+1的取值范圍是
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225251804308368/SYS201311012252518043083020_DA/12.png">，
所以．
所以，即，
所以，
∴，
∴．
②由①，且0＜a＜1．
∴，
∴
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)列的求和、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．