Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），x∈（0，2013π），則函數(shù)f（x）的極大值之和為（　　）

• A、

  e2π(1-e2012π)

  e2π-1

• B、

  eπ(1-e2012π)

  1-e2π

• C、

  eπ(1-e1006π)

  1-e2π

• D、

  eπ(1-e1006π)

  1-eπ

Answer 1

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，再利用數(shù)列的求和方法來求函數(shù)f（x）的各極大值之和即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）時，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）時，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）時f（x）遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）時f（x）遞減，
∴當(dāng)x=2kπ+π（k∈Z）時，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又x∈（0，2013π），
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π
═

eπ(1-e2π×1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

．
故選：B．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列求和的問題，解題的關(guān)鍵是求出f（x）的極大值，是中檔題．