Question

已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)，求證：

(1)f(0)=0；

(2)若在區(qū)間[a，b](b＞a＞0)上f(x)有最大值M，那么f(x)在區(qū)間[－b，－a]上必有最小值－M．

Answer 1

答案：略
解析：

充分利用奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)圖像的特點求解． 證明：(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=－f(0)，∴f(0)=0， (2)∵M是f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值，則對于任意的xÎ [a，b]，都有f(x)≤M． 任取，則有， ∴． ∵f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴， ∴，， 即對任意的，都有． ∴f(x)在區(qū)間[―b，―a]上的最小值是－M．

提示：

(1)靈活運用函數(shù)奇偶性的概念，是解決某些問題的關(guān)鍵． (2)奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原，氮對稱，當(dāng)0屬于f(x)的定義域時，必有f(0)=0．但是偶數(shù)函數(shù)不具有此特點． (3)奇(偶)函數(shù)圖像的特點是解決某些問題的重要輔助手段．但圖形主要幫助觀察理解問題，尋求解題途徑，不能代替推理證明．