Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x-$\frac{π}{6}$），x∈R
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且g（$\frac{α}{2}$）=$\frac{2}{3}$，0＜α＜π，求g（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦和余弦公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出g（x）的解析式，利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos（x-$\frac{π}{6}$）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}sinx$）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx）
=2sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]；
（2）∵f（x）=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
則g（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{3}$
∵0＜α＜π，∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴0＜sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$＜α+$\frac{π}{3}$＜π，∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴g（$\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$）=2sin[（$\frac{π}{2}$+α）+$\frac{π}{3}$]=2sin[$\frac{π}{2}$+（α+$\frac{π}{3}$）]=2cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性的求解以及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值，利用兩角和差的公式以及倍角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．