Question

（本題滿分16分）已知橢圓C的中心在原點，左焦點為，右準(zhǔn)線方程為：．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓C上點到定點的距離的最小值為1，求的值及點的坐標(biāo)；

（3）分別過橢圓C的四個頂點作坐標(biāo)軸的垂線，圍成如圖所示的矩形，A、B是所圍成的矩形在軸上方的兩個頂點．若P、Q是橢圓C上兩個動點，直線OP、OQ與橢圓的另一交點分別為、，且直線OP、OQ的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求四邊形的面積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

（1）（2），（3）四邊形的面積為定值

【解析】

試題分析：（1）左焦點為，所以 ，右準(zhǔn)線方程為：

，由此解出 ，寫出方程（2）最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，構(gòu)造 的函數(shù)，即

，然后求最值使其等于1，注意分類討論

（3）設(shè)，根據(jù)斜率之積是定值，在橢圓上，找出 坐標(biāo)間的關(guān)系；寫出所在直線方程，求 到直線的距離 ，根據(jù)面積公式寫出面積，

試題解析：【解析】
（1）設(shè)橢圓的方程為：，

由題意得：，解得：， 2分

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：； 4分

（2）設(shè)，則

對稱軸：， 6分

①當(dāng)，即，時，，

解得：，不符合題意，舍； 8分

②當(dāng)，即，時，，

解得：或； ；

綜上：，； 10分

（3）由題意得：四條垂線的方程為，，則，

∴

設(shè)，，則①，.

∵點、在橢圓C上 ∴，

平方①得：，即. 12分

①若，則、、、分別是直線、與橢圓的交點，∴四個點的坐標(biāo)為：

，，，∴四邊形的面積為；

②若，則直線的方程可設(shè)為：，化簡得：

，

所以到直線的距離為， 14分

所以的面積

.

根據(jù)橢圓的對稱性，故四邊形的面積為，即為定值.

綜上：四邊形的面積為定值. 16分

考點：直線與橢圓的最值定值問題