Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+d在(-∞，0]上是增函數(shù)，在(0，2]上是減函數(shù)，且f（x）=0有三個(gè)根α，2，β（α≤2≤β）。
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范圍；
（Ⅱ）求證：f（x）≥2；
（Ⅲ）求β-α的取值范圍，并寫出當(dāng)β-α取最小值時(shí)的f（x）的解析式。

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）在(-∞，0]上是增函數(shù)，在(0，2]上是減函數(shù)，
所以x=0是f′（x）=0的根，
又，
由f′（0）=0，得c=0，
又f（x）=0的根是α，2，β，
所以f（2）=0，所以8+4b+d=0，
又f′（2）≤0，
所以12+4b≤0，所以b≤-3，
又d=-8-4b，
所以d≥4；
（Ⅱ）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120219/201202191627288001107.gif">，
所以d=-8-4b，且b≤-3，
所以；
（Ⅲ）因?yàn)閒（x）=0有三個(gè)根α，2，β（α≤2≤β），
所以，
所以
，
又b≤-3，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)b=-3時(shí)取最小值，此時(shí)d=4，
所以。