Question

如圖，現(xiàn)在要在一塊半徑為1m．圓心角為60°的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設(shè)∠BOP=θ．平行四邊形MNPQ的面積為S．
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求S的最大值及相應(yīng)θ的值．

Answer 1

解：①分別過點P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分別為D、E，則四邊形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB= ，則OE= QE= PD．
所以MN=PQ=DE=OD﹣OE=cosθ﹣ sinθ．
則S=MN×PD=（cosθ﹣ sinθ）×sinθ=sinθcosθ﹣ sin²θ，θ∈（0， ）．
（2）S= sin2θ﹣ （1﹣cos2θ）= sin2θ+ cos2θ﹣ = sin（2θ+ ）﹣ ．
因為0＜θ＜ ，所以 ＜2θ+ ＜ ，
所以 ＜sin（2θ+ ）≤1．所以當(dāng)2θ+ = ，即θ= 時，S的值最大為 m²．
即S的最大值是 m²，相應(yīng)θ的值是 ．