Question

已知（

x

+

1

3x2

）ⁿ的第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是14：3，
（1）求n．
（2）求展開式中常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）由題意知

C

4 n

：

C

2 n

=14：3，由此求得n的值．
（2）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：（1）由題意知

C

4 n

：

C

2 n

=14：3，即

n(n-1)(n-2)(n-3)

4!

=

n(n-1)

2

=

14

3

，
化簡(jiǎn)可得 n²-5n-50=0，解得n=-5（舍去），或n=10．
（2）設(shè)該展開式中第r+1項(xiàng)中不含x，則 T_r+1=

C

r 11

•3^-r•x

10-5r

2

，
依題意，有x

10-5r

2

=0，r=2．
所以，展開式中第三項(xiàng)為不含x的項(xiàng)，且T₃=

C

2 10

•3^-2=5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．