Question

9．雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M是雙曲線E的漸近線上的一點(diǎn)，MF₁⊥MF₂，sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{3}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{9}{7}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)M是漸近線y=$\frac{a}$x上的一點(diǎn)，∠MOF₂=2∠MF₁F₂，求出tan∠MOF₂=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，可得$\frac{a}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，即可求出e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{32}{49}}$=$\frac{9}{7}$．

解答 解：由題意，設(shè)M是漸近線y=$\frac{a}$x上的一點(diǎn)，∠MOF₂=2∠MF₁F₂，
∵sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{3}$，∴tan∠MF₁F₂=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，∴tan∠MOF₂=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{32}{49}}$=$\frac{9}{7}$，
故答案為$\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查二倍角公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．