Question

8．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個交點發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光先經(jīng)過橢圓的另一個交點，現(xiàn)設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，點A和B是它們的兩個交點，當(dāng)靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2或18或20．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，當(dāng)靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，射到左頂點，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2；射到右頂點，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的路程是18；小球從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點到兩焦點距離之和，進而根據(jù)橢圓的定義可求得答案．

解答 解：依題意可知$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中，a=5，b=3，c=4，設(shè)A，B分別為左、右焦點，
則當(dāng)靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，射到左頂點，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的路程是2；
射到右頂點，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點A時，小球經(jīng)過的路程是18；
小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×5=20．
故答案為：2或18或20．

點評 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的第一定義．